リーマン面入門 - Jij Tech Blog

<!doctype html> リーマン面入門

リーマン面の定義

$X$ がリーマン面であるとは

$1.$ $X$ は連結なハウスドルフ空間である。

$2.$ $X$ $\{U_i\}_i$ $\cup_i U_i=X$ $\{U_i\}_i$ $X$ の開被覆）である。

$3.$ $U_i$ $\mathbb C$ $\psi_i$ が存在する。

$4.$ $U_i \cap U_j \neq 0$ $U_i,U_j$ に対し、座標変換

\psi_i(U_i\cap U_j) \xrightarrow{{\psi_i|U_i\cap U_j}^{-1}} U_i\cap U_j \xrightarrow{\psi_j|U_i\cap U_j} \psi_j(U_i\cap U_j)

は正則写像である。

$\C$ と同じと見てよい対象です。ではこれから具体例を見ていきましょう。

対数函数の一意化リーマン面

$z$ に対して

\log z=\omega

$\omega$ $r=|z|,\theta=\arg z$ $w=x+iy$ と置いて

z=r\exp(i\theta)=\exp x\exp(iy)= \exp\omega

$\omega$ にしたい、と思うのは自然な考えでしょう。そこで、単純に

x=\log r,y=\theta

つまり

z=\log r+i\theta

$\exp(i\theta)$ $n$ を任意の整数として

z=\log r+i(\theta+2n\pi)

$z=\exp\omega$ $0 \leq \theta<2\pi$ $\theta$ のみ許すとして、対数函数を

\log z=\log r+i\theta

$\{z|{\rm Re}(z)\geq0,{\rm Im}(z)=0\}$ $\log r$ $\log r+2\pi i$ $\mathbb C$ $\mathbb C/\{z|{\rm Re}(z)\geq0,{\rm Im}(z)=0\}$ ${\rm Log} z$ と書くのでした。こんな面倒くさいことを考えずに、もっと自然な対数函数の定義域を考えることはできないでしょうか？そこで自然な発想として、非負の実軸に下から近づけて元の複素平面に戻るんじゃなくて、もうそこで複素平面に切れ目を入れてしまって、別の複素平面にスルッと移ってしまえばいい！と考えたくなってきます。この考え方をちゃんと定式化したのが、対数函数の一意化リーマン面です。

$\mathbb C/\{z|{\rm Re}(z)\geq0,{\rm Im}(z)=0\}$ $\log z$ $\mathbb C/\{z|{\rm Re}(z)\geq0,{\rm Im}(z)=0\}$ $\log z=\log r+i(\theta+2\pi)$ としておけば、見事に対数函数が滑らかに繋がっています。このような操作を、もう一つの切れ目にも行うということを可算無限回繰り返して行くのです。ウィキペディアの画像が視覚的に分かりやすいです。

$\C^2$ の中のリーマン面

$\R^N$ $f_i$ $f_i(x)=0$ $\C^2$ $f$ $z,w$ の多項式として

C=\{(z,w) \in\C^2|f(z,w)=0\}

$z=x+iy$ $\omega=\zeta+\eta i$ $f$ $\R^4\rightarrow\R^2$ $(\phi(x,y,\zeta,\eta),\psi(x,y,\zeta,\eta))$ $C$ に可微分多様体の構造が入る条件を見てみましょう。即ち、ヤコビ行列

J=\left( \begin{matrix}{} \frac{\partial\phi}{\partial x} & \frac{\partial\phi}{\partial y} & \frac{\partial\phi}{\partial \zeta} &\frac{\partial\phi}{\partial \eta}\\ \frac{\partial\psi}{\partial x} & \frac{\partial\psi}{\partial y} & \frac{\partial\psi}{\partial \zeta} &\frac{\partial\psi}{\partial \eta}\\ \end{matrix} \right )

$2$ $2\times2$ 行列にできるということです。ここで、複素微分は

\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y} \right), \frac{\partial }{\partial \bar z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y} \right)

$J$ $i$ を掛けて足したり引いたりすれば

J=\left( \begin{matrix}{} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar z} & \frac{\partial f}{\partial \omega} &\frac{\partial f}{\partial \bar \eta}\\ \frac{\partial \bar f}{\partial z} & \frac{\partial \bar f}{\partial \bar z} & \frac{\partial \bar f}{\partial w} &\frac{\partial \bar f}{\partial \bar w }\\ \end{matrix} \right )

$f$ $z,w$ $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=\frac{\partial f}{\partial \bar w}=0$ となって、結局

J=\left( \begin{matrix}{} \frac{\partial f}{\partial z} &0 & \frac{\partial f}{\partial \omega} &0\\ 0 & \overline{(\frac{\partial f}{\partial z})} & 0& \overline{(\frac{\partial f}{\partial w })}\\ \end{matrix} \right )

となって、陰函数定理による条件は

J=\left( \begin{matrix}{} \frac{\partial f}{\partial z} &\frac{\partial f}{\partial w}\\ \end{matrix} \right )

$1$ $C$ $\mathbb P^n$ $\C^{n+1}$ $\C^{n+1}/\{0\}$ の、定数倍を同一視する同値関係による商空間がコンパクトになることを示してから締めくくることにしましょう。

$\{\sum_iX_i^2=1|(X_1,X_2,\cdots,X_{n+1}) \in \C^{n+1}\}$ $\mathbb P^n$ $\mathbb P^n$ $U$ $\C^{n+1}/\{0\}$ $\pi$ $\pi^{-1}(U)$ $U$ $\C^{n+1}$ $\{\sum_iX_i^2=1|(X_1,X_2,\cdots,X_{n+1}) \in \C^{n+1}\}$ $V$ $\{\sum_iX_i^2=1|(X_1,X_2,\cdots,X_{n+1}) \in \C^{n+1}\}$ $V$ $\mathbb P^n$ の開集合の逆像になっています。よってこれは連続函数であり、連続函数によるコンパクト空間の像ですから、射影空間もコンパクトになります。

参考：寺杣友秀「リーマン面の理論」

リーマン面の定義

対数函数の一意化リーマン面

3.\C^2の中のリーマン面

$\C^2$ の中のリーマン面