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Capacitive-shunted flux qubitを用いた量子アニーリング

Capacity-Shunted Flux Qubits (CSFQ)

構成回路図

Capacitive-shunted flux qubit (直訳するとコンデンサによりノイズを排除した磁束量子ビット)はYou et al., 2007, "Low-decoherence flux qubit"により考案されたものです。回路図を以下に示します。

A circuit of CSFQ
CSFQの回路図

3つのジョセフソン結合からなる閉回路に外部磁場 \Phi_eを加えることで、量子ビットとしての性質を持たせることができます。2つのジョセフソン結合は結合エネルギー E_Jと静電容量 C_Jを持っています。そして3つめの(小さな)ジョセフソン結合は \alpha E_J, \alpha C_J (0.5 < \alpha < 1)を持ちます。ここに、小さなジョセフソン結合と並列に静電容量 C_sのコンデンサを繋ぎます。これによりb部分とc部分(図の赤線部分)による蓄電エネルギーを減らすことができます。このコンデンサのことを、ノイズを駆逐するという意味で"Shunt capacitor"と呼びます。

エネルギー準位

以下にこの回路におけるエネルギースペクトルを示します。

Energy spectrum
エネルギースペクトル

横軸は f = \Phi_e / \Phi_0のように磁束量子 \Phi_0 = h/(2e)で規格化された外部磁場の磁束の大きさ、縦軸がエネルギーです。縦軸はエネルギーで、基底状態から第3励起状態までを表示してあります。各パネルは E_J/E_c =(a)60, (b)35, (c) 20で \alpha = 0.8とした場合、そして E_J/E_c = (d)60, (e)35で \alpha = 0.6とした場合です。ここで E_c = e^2 / (2C_J)はジョセフソン結合の帯電エネルギーです。 E_J / E_c \alphaの値を小さくすることによって、基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップを開くことに成功しています。

コヒーレンス時間

以上の研究結果によりコヒーレンス時間が10 \musにまで伸びることが確認されています。その後の研究で2D CSFQや3Dトランズモン量子ビットが開発され、それらは100 \musのコヒーレンス時間を達成しています。

Coherence time history of flux qubits
超伝導量子ビットのコヒーレンス時間の歴史

最近では2019年にNTTから3D CSFQの開発論文が発表されました。まだまだ開発途上の段階にあるCSFQは、次世代の量子情報デバイスの担い手になるのではないかと期待が寄せられています。

CSFQで通常の量子アニーリングをすることの困難性

CSFQで通常の量子アニーリングが困難な理由には2つあります。

  1. 通常の量子アニーリングに使う磁束量子ビット(FQ)の電流がマイクロアンペアなのに対して、CSFQの電流はナノアンペアの大きさ程度です。するとイジングハミルトニアンの外部縦磁場によるゼーマンエネルギー h \sigma_z^iのオーダーに比べて、スピン間相互作用エネルギー J_{ij} \sigma_z^i \sigma_z^jのオーダーが極端に小さくなります(これを弱結合と呼びます)。量子アニーリングではこの2つの項のオーダーが同じ大きさで表現される必要があります。
  2. CSFQのコヒーレンス時間が最も長くなる最適動作点(基底状態と第一励起状態のエネルギーギャップが最も小さくなる点)において、イジング型の相互作用だけでなく別の相互作用(フリップフロップ相互作用)も現れます。量子アニーリングではイジング型の相互作用だけが計算の最後に必要となるため、別の相互作用が存在すると解が正しく求まらない原因となります。

スピンロックによる量子アニーリングのメリット

CSFQで通常の量子アニーリングを行うことは、以上の2点から困難です。しかしNMRで用いられているスピンロック法を用いれば、これらの問題を解決することができます。

  1. スピン間相互作用がゼーマンエネルギーに比べて小さい問題は、強い回転横磁場と同じ角速度で回転する座標系での有効磁場(スピンロックの基礎の章参照)を考えることで解決できます。回転座標系に移ることで縦磁場を調整し、これを弱めることができます。
  2. フリップフロップ相互作用は量子ビットのスピンを反転させる振動数と、スピンロックさせる回転磁場の振動数を調整することで、抑制することが可能です。

そもそもNMR量子ビットで量子アニーリングを行えば良いのではないか、という疑問も浮上します。しかしNMR量子ビットはスケールさせることが難しく、これで量子アニーリングを行う実用的な利点はいまだに不明です。
このような理由から、この論文ではCSFQでスピンロックによる量子アニーリングを提案しています。

スピンロックによる量子アニーリング

スピンロックの基礎

 \pi/2パルス(90度パルス)

原子核に z方向静磁場を加えて、核スピンによる磁気モーメント \boldsymbol{\mu} z方向に揃えております。そこに核スピンと同じラーモア周波数と同じ周波数で xy平面内に回転磁場を加えます。すると \boldsymbol{\mu}は下図のように z軸周りに螺旋運動を始め、その傾きがだんだんと大きくなっていきます。

pi/2 pulse
90度パルス

この回転磁場を加える時間を調節することでちょうど \pi/2傾いた( xy平面内で運動している)状態にすることができます。この回転磁場のことをRFパルス、そして \pi/2回転させるRFパルスを \pi/2パルスと呼びます。

スピンロック

 \pi/2パルスを加えた直後に、再び核スピンのラーモア周波数と同じ周波数の強い回転磁場 {\bf B}_1を、 xy平面の方向に加えます。すると xy平面内で、 \boldsymbol{\mu}の向きと回転磁場の向きが常に同じになります。このとき、回転磁場と同じ角速度で回転する回転座標系に移って考えてみましょう。すると、元々加えていた静磁場 {\bf B}_0とあとに加えた回転磁場 {\bf B}_1は静止して見えるので、磁気モーメント \boldsymbol{\mu}はこの2つを合成した有効磁場 {\bf B}_{\rm eff}を感じてラーモア歳差運動をするようになります。これをスピンロックを呼びます。

Spin lock
スピンロック

スピンロックで量子アニーリング

スピンロック量子アニーリングの手順を以下に示します。

  1. 量子状態 | 00 \cdots 0 \rangleを用意します。
  2.  \pi/2パルスを照射し、 | + + \cdots + \rangle とします。ここで | + \rangleはパウリ行列 \sigma_xの固有状態です。
  3.  x方向の交流磁場によってスピンロックした後に、この横磁場を消していき徐々にイジングハミルトニアンの効果を入れていきます。
  4. 最後に、量子ビットを測定すれば、求めたかったイジングハミルトニアンの基底状態を得ることができます。

3つ目の手順のユニタリな時間発展を記述するハミルトニアンを以下に示します。

 \displaystyle{
H = H_0 + e^{-\gamma^2 t^2} H_D + (1-e^{-\gamma^2 t^2}) (H_{\rm Ising} + H_{xy}) \\
H_0 = \sum_{i=1}^L \frac{\omega + \delta \omega_i}{2} \sigma_z^{(i)} \\
H_D = - \sum_{i=1}^L \lambda \cos [ (\omega + \delta \omega_i) t ] \sigma_x^{(i)} \\
H_{\rm Ising} = -\sum_{i=1}^L \frac{h_i}{2} \sigma_{z}^{(i)} - \sum_{i, i' = 1}^L \frac{J_{ii'}}{2} \sigma_z^{(i)} \sigma_z^{(i')} \\
H_{xy} = - \sum_{i, i' = 1}^L \frac{J_{i i'}}{2} \sigma_x^{(i)} \sigma_x^{(i')}  - \sum_{i, i' = 1}^L \frac{J_{i i'}}{2} \sigma_y^{(i)} \sigma_y^{(i')} 
}

ここで \omega+ \delta \omega_iはi番目の量子ビットを反転させる振動数、 \lambdaはラビ振動数です。 H_0は量子ビットが持つエネルギーを表すハミルトニアン、 H_Dは量子ビットにかける振動横磁場(Driving項)、 H_{\rm Ising}は求めたい問題のハミルトニアン(ここではイジングモデル)、そして、 H_{xy}はフリップフロップ相互作用によるハミルトニアンです。スピンロックは回転座標系に移って考えます。ユニタリ変換 e^{iH_0 t}より、回転座標系では高速振動する \omega + \delta \omega_iに比例した項は無視することができます。これを回転波近似(Rotating Wave Approximation,RWA)と呼びます。この近似の元では、普通の横磁場量子アニーリングと等価になります。

数値実験

ここでは h_j = h > 0, J_{i, i+1} = J > 0 (i = 1, 2, \cdots, L-1)のような場合の1次元イジングモデルの場合に対して、数値シミュレーションを行いました。この場合、基底状態は | 11\cdots 1\rangleとなります。

Numerical result of QA with spin lock
スピンロックによる量子アニーリングの数値実験結果

上図は横軸がアニーリング時間、縦軸は基底状態からのズレ(1: 基底状態が求まっていない、0: 基底状態が求まっている)を示した図です。 \omegaが大きいほど回転波近似がよく成り立ち、基底状態がよく求まっていることがわかります。

結言

今回はスピンロック技術をベースとした量子アニーリングをご紹介し、それを実行するハード技術としてCSFQにも触れました。

文責

中村翔、株式会社Jij
Sho K. NAKAMURA, Jij inc.
憂いの篩 -Pensieve-

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