セグレ埋め込みと射影多様体の積（２）～代数幾何学～

セグレ埋め込みと射影多様体の積（１）～代数幾何学～

https://jijtech.hatenablog.com/entry/2020/11/13/105951

から続きます。

射影多様体の積

いよいよ、射影代数多様体の積を定義します。任意の準射影多様体$X \sub \mathbb P^n$及び$Y\sub \mathbb P^m$についてセグレ埋め込みによって直積集合としての$X \times Y$に位相構造を入れたもの$X \times Y \sub \mathbb P^n \times \mathbb P^m$が、射影多様体の積です。まず、$\mathbb P^n,\mathbb P^m$の閉集合$Z,W$に対し$Z \times W$は閉集合であることを示しましょう。

証明：

$$Z\times W=\cap_i Z(f_i)\times\cap_j Z(g_j)=\cap_{i,j}Z(f_i) \times Z(g_j)=\cap_{i,j}(Z(f_i)\times \mathbb P^m \cap \mathbb P^n\times Z(g_i))$$

が成り立つので、$Z(f) \times \mathbb P^m$という形の集合が閉集合であることを示せば充分である。しかし、$f(x_0,...,x_n)=0$と$\forall j,f(x_0y_j,...,x_ny_j)=0$が同値であることにさえ注意すれば明らかに、$\mathbb P^N$の閉集合$\square$

また、$X,Y$が局所閉なら$X\times Y$が局所閉であることも容易に確認できます。

証明：

任意の準射影多様体は局所閉だから、閉集合$T_1,T_2,S_1,S_2$を用いて

$$X \times Y=(T_1-T_2)\times (S_1-S_2)=T_1\times S_1-T_2\times S_1\cup T_1 \times S_2$$

と書ける。

$\square$

次に、局所閉集合に関する節で述べたように、局所閉集合の閉包が既約ならば、これは準射影多様体であることが言えます。よって、閉包を考えることで$X,Y$が既約の時に$X\times Y$が既約であることを言えば良いことが分かります。

命題：

位相空間$X$は、既約なら連結である。

証明：

背理法により示す。$X$が連結でないと仮定すると、$X$に真に含まれるような開かつ閉なる集合$A$が存在する。$X-A$は空でなく、開かつ閉であって$X=A\cup(X-A)$となる。

命題：

局所既約（任意の$x \in X$に対し、既約な開近傍がとれること。既約集合の開部分集合は既約だから、これは$x$の各近傍が既約な近傍を包むことと同値である）な位相空間$X$に於いて、既約成分は開である。

証明：

既約成分$\cal I$に対し$x \in \cal I$を任意にとると、$x$の既約な開近傍$U_x$が$X$の中でとれる。$U_x \cap \cal I$は空でなく、$U_x$の中では既約成分である。これは以下のようにして分かる。$U_x \cap {\cal I}$を真に含む既約集合が$U_x$の中にあるとする。$U_x \sub \cal {I}$ならば何も言うことはないが、そうでないならば閉集合${\cal I}-U_x$は空でない。その閉包$V$は${\cal I}\not \subset V$で${\cal I}=({\cal I}-U_x)\cup V$、つまり$\cal I$が既約でないことになる。これは矛盾。従って、$U_x\cap {\cal I}= U_x$即ち$U_x \sub \cal I$を得る。これは$\cal I$が開であることを示す。

$\square$

命題：

局所既約な位相空間$X$に於いて、連結成分であることと既約成分であることは同値である。

証明：

$X$の連結成分$\cal I$は、全ての$\cal I$と交わる開かつ閉である集合に含まれる。よって特に$\cal I$と交わる既約成分をとると、$X$が局所既約だからそれは開かつ閉であることにより、それに含まれる（適当に$x \in {\cal I}$をとり、それを含む既約成分をとれば良い。その存在は既に示している）。既約なら連結であるから、$\cal I$の極大性により$\cal I$は既約でなければならない。故に、連結成分は既約成分である。逆はこれより明らか。

$\square$

命題：

位相空間$X$に於いて、既約な開被覆$\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$があってそれらの共通部分が空でないならば、$X$は既約である。

証明：

既約なら連結であるから、連結な集合族$\{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の共通部分$\cap_\lambda M_\lambda$が空でないなら合併$\cup_\lambda M_\lambda$も連結であることにより、$X=\cup_\lambda U_\lambda$は連結である。また、$X$は局所既約でもあるから前命題により既約である。

$\square$

では最後に、既約集合$X \sub \mathbb P^n,Y \sub {\mathbb P}^m$のセグレ埋め込み$X \times Y$が既約であることを示しましょう。

証明：

$H_i:x_i=0,H^\prime_j:y_i=0$とし、一般性を失わずに、$\forall i,X \not \sub H_i$及び$\forall j, Y \not \sub H^\prime_j$を仮定する。セグレ埋め込みの中で$(\mathbb P^n-H_i)\times (\mathbb P^m-H^\prime_j)$は開集合だが、これは$\mathbb A^{n+m}$と同型。従って$U_{ij}:=(X-H_i)\times (Y-H^\prime_j)$は、アファイン多様体の時の議論により既約。つまり、$X \times Y$のアファイン開被覆がとれている。さらに、共通部分$U:=\cap U_{ij}=(X-\cup _iH_i)\times (Y-\cup_jH^\prime_j)$は空でないので$X \times Y$は既約である。

$\square$

参考：

[1]http://home.p07.itscom.net/strmdrf/set07.htm

[2]ハーツホーン-代数幾何学１

[3]https://arxiv.org/pdf/1411.5901.pdf