最尤推定法による量子振幅推定

この記事の概要

2019年4月にarXivに投稿された論文のSuzuki et al. "Amplitude Estimation without Phase Estimation"を読み、その理解を深めるためにまとめたものです。

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量子振幅増幅
最尤推定法による量子振幅推定
数値実験
結言
参考文献
文責

量子振幅増幅

詳しくはこちらの記事の量子振幅増幅
tech.j-ij.com
を参照してください。

最尤推定法による量子振幅推定

数式による説明

$N_k$ を測定回数(論文ではshotと表記)とします。そして $\mathcal{Q}^{m_k} | \Psi \rangle_{n+1}$ を測定したときに、求めたい状態 $| \psi_1 \rangle_n$ が測定された回数を $h_k$ とします。すると求めたい状態が測定される確率は $\sin^2 ((2m_k + 1) \theta_a)$ より、尤度関数は

$\displaystyle{ L_k (h_k; \theta_a) = \{ \sin^2 ((2m_k + 1) \theta_a) \}^{h_k} \{ \cos^2 ((2m_k + 1) \theta_a) \}^{N_k-h_k} }$

となります。すると $\{ m_0, m_1, \dots, m_k, \cdots , m_M \}$ に対する尤度関数は

$\displaystyle{ L({\bf h}: \theta_a) = \prod_{k=0}^M L_k (h_k; \theta_a) }$

となります。ここで ${\bf h} = (h_0, h_1, \dots, h_M)$ です。最尤推定により、上述の $L({\bf h}, \theta_a)$ を最大化するような $\theta_a$ が求めたい値となります。

$\displaystyle{ \hat{\theta}_a = \mathop{\rm arg~max}\limits_{\theta_a} L({\bf h}; \theta_a) }$

図を用いた説明

上左図のように、増幅演算を様々な回数作用させた状態 $\mathcal{Q}^{m_0} | \Psi \rangle_{n+1}, \mathcal{Q}^{m_1} | \Psi \rangle_{n+1}, \dots, \mathcal{Q}^{m_M} | \Psi \rangle_{n+1}$ を測定しておきます。上真ん中図のようにそこから尤度関数 $L_0, L_1, \cdots, L_M$ を計算します。それらを掛け合わせて、全体に対する尤度関数 $L$ を算出します。上右図のように、求めたい $\theta_a$ の部分で $L$ が最大となっているので、そこから値を求めます。

$m_k$ の決定

論文ではクラメル・ラオの不等式とフィッシャー情報量を用いて、エラーの少ない $m_k$ を求めています。

Linearly Incremental Sequence (LIS): $m_0 = 0, m_1 = 1, m_2 = 2, \dots, m_M =M$ のように等差数列とする場合
Exponentially Incremental Sequence (EIS): $m_0 = 0, m_1 = 2^0, m_2 = 2^1, \dots, m_M = 2^{M-1}$ のように等比数列とする場合